直線、圓與二次曲線的幾何性質與應用

📝 歷屆考古題

• 114年 統測 第10題
  已知在坐標平面上有多筆物件資料，今將其分成三類，分別以▲、●、★ 表示。若利用兩條直線 $L_1: 2x-y=6$ 與 $L_2: x+y=8$ 切割分辨出三類物件資料所屬不同區域，如圖(二)所示，則…
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• 114年 統測 第11題
  茗茗幫家裡設計一款拋物線造型的裝飾品，在設計圖的坐標平面上，畫出此拋物線為 $\Gamma: y^2 = 8x$，如圖(三)中的實線。但大家討論後認為 $\Gamma$ 開口太大，建議保持 $\Gamma$…
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• 114年 統測 第17題
  已知坐標平面上三點 $A(1, 4)$、$B(-3, -4)$、$C(5, 2)$ 形成一個直角三角形，如圖(四)所示，試問下列何者為 $\Delta ABC$ 的外接圓方程式？
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• 114年 統測 第18題
  已知坐標平面上四點 $O, P, A(1, 2), B(-3, 4)$，其中 $O$ 為原點，且點 $P$ 在線段 $\overline{AB}$ 上，如圖(五)所示。若 $\Delta OAP$ 的…
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• 114年 統測 第21題
  已知 $L$ 是坐標平面上通過點 $(1,-1)$ 的直線，且其 $x$ 截距為 $a$，試問下列敘述何者正確？
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• 113年 統測 第2題
  設直線 $L_1$ 的斜角為 $35^{\circ}$，已知直線 $L_2$ 與 $L_1$ 相互垂直，如圖(一)所示，則 $L_2$ 的斜角為何？
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• 113年 統測 第4題
  已知直線 $L：y=x -5$ 與圓 $C$ 相切，且圓 $C$ 的圓心為 $( 3,-4)$，則圓 $C$ 的半徑為何？
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• 113年 統測 第13題
  已知 $a>0$，拋物線 $y=ax^2$ 的正焦弦 $\overline{F_1F_2}$ 長度為 8，且其頂點為 $V$，則 $\Delta VF_1F_2$ 的面積為何？
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• 113年 統測 第21題
  在坐標平面上，若 $\Delta ABC$ 的三頂點坐標分別為 $A( -3 , 4 )$、$B( -1 , 2 )$ 與 $C( 3 , 6 )$，則 $\Delta ABC$ 與其內部區域可由下列…
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• 112年 統測 第5題
  二元一次聯立不等式 $\begin{cases} x+3y \ge 6 \ 2x+y \le -4 \end{cases}$ 的圖解區域屬於哪一象限？
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• 112年 統測 第16題
  若坐標平面上四點 $A(1, 2)$、$B(2, -3)$、$C(2, 7)$、$D(a, -10)$ 在同一圓上，則 $a=$？
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• 112年 統測 第21題
  農夫將一隻牛的項圈串上一條長 8 公尺的繩子，並將繩子的兩端分別套在相距 4 公尺的兩根木樁上。假設牛在草地上移動的最大範圍為一橢圓形區域，如圖(四)所示，其中 $A$、$B$ 為木樁位置，而 $P$…
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• 111年 統測 第6題
  坐標平面上，若點 $A(a, -6)$ 在直線 $L: 2x-y+12=0$ 之右半平面，則下列何者為 $a$ 的可能值？
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• 111年 統測 第7題
  若 $A(1, 4)$、$B(6, 2)$ 所連接的線段 $\overline{AB}$ 與直線 $L: x-y+1=0$ 相交於 $P$ 點，則 $\frac{\overline{AP}}{\overline{BP}} =$…
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• 111年 統測 第9題
  已知圓 $x^2+y^2+2x+4y-3=0$ 與相異兩直線 $L_1: x+y+1=0$ 及 $L_2: ax+by+10=0$ 分別交於兩點，且 $L_1 // L_2$，如圖(一)所示。若此圓圓…
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• 111年 統測 第24題
  若 $P(x, y)$ 為橢圓 $4x^2+6y^2-12y-6=0$ 上任意一點，則 $x+3y$ 的最大值為何？
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• 110年 統測 第8題
  若圓 $C$ 與 $y$ 軸相切，且圓心為拋物線 $y = x^2 + 4x + 5$ 之頂點，則下列何者為圓 $C$ 的方程式？
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• 110年 統測 第9題
  若有兩個二次曲線方程式，分別為 $x^2 + 4y^2 + 4x - 16y + 4 = 0$ 與 $\frac{(x+2)^2}{4} - \frac{(y-1)^2}{5} = 1$，則下列何者為…
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• 110年 統測 第13題
  已知 $a$、$b$ 為實數。若直線 $L_1: y = ax + b$ 與 $L_2: y = bx + a$ 相互垂直，且 $a^2 + b^2 = 50$，則 $L_1$ 與 $L_2$ 的交點…
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• 109年 統測 第7題
  若給定一橢圓標準式 \(\frac{(x-4)^2}{25} + \frac{(y+2)^2}{144} = 1\)，則下列何者正確？
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• 109年 統測 第10題
  在 \(\begin{cases} x+2y-6 \ge 0 \ x+y-10 \le 0 \ 2 \le x \le 9 \end{cases}\) 的條件下，求其可行解區域的面積（平方單位）為何？
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• 109年 統測 第15題
  若 \(k\) 為實數，且點 \(P(1, k)\) 為曲線 \(kx^2+y^2+2x-4y+k-1=0\) 上之一點，求曲線之圖形為何？
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• 109年 統測 第24題
  在人工智慧的分類技術中，用到以直線分類不同物件的概念。設平面上有七個點 \(A(1, 3)\)、\(B(3, 2)\)、\(C(-1, 4)\)、\(D(-1, 2)\)、\(E(1, -2)\)、\…
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• 108年 統測 第3題
  有兩條直線 $L_1: 3x - 5y = 2$、$L_2: x + 2y = 3$ 將平面分成四個區域，如圖所示，試問區域 A 可用哪一組不等式表示？
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• 108年 統測 第5題
  已知扇形的面積為 1 且其周長為 5，試問此扇形的半徑為何？
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• 108年 統測 第9題
  已知坐標平面上三直線 $L_1: 3x+y=2$、$L_2: 2x-3y=3$、$L_3: x-ay=-2$，且這三直線將平面分成六個區域，則 $a$ 不可以是下列哪一個值？
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• 108年 統測 第19題
  已知坐標平面上三直線 $L$、$L_1$ 與 $L_2$，若直線 $L$ 為水平線，$L_1$ 與 $L_2$ 的斜率分別為 $\frac{3}{2}$ 與 $-\frac{3}{2}$，且直線 $L$…
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• 108年 統測 第22題
  已知點 $F$ 及直線 $L$ 分別為橢圓 $\frac{x^2}{25} + \frac{(y-1)^2}{9} = 1$ 的焦點及短軸。若以直線 $L$ 為準線及點 $F$ 為焦點所作出拋物線的方…
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• 108年 統測 第23題
  已知 $F_1$、$F_2$ 為橢圓 $\frac{x^2}{169} + \frac{y^2}{144} = 1$ 的焦點，且 $F_3$、$F_4$ 為雙曲線 $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$…
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• 107年 統測 第1題
  已知直線 $L_1$ 通過 $(2,3)$、$(1,5)$ 兩點，且直線 $L_2$ 的 $x$ 截距是 1、$y$ 截距是 4。若 $L_1$ 與 $L_2$ 的斜率分別為 $m_1$ 與 $m_2$…
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• 107年 統測 第2題
  若兩直線 $3x+4y=6$ 與 $9x+12y=k$ 的距離為 2，則 $k$ 的值可能為下列何者？
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• 107年 統測 第5題
  坐標平面上滿足不等式 $\begin{cases} 2x+y \le 10 \ x+2y \le 8 \ x \ge 0, y \ge 0 \end{cases}$ 的區域面積為何？
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• 107年 統測 第15題
  設點 $O_1$ 為圓 $C : x^2 + y^2 - 6x + 4y + 9 = 0$ 之圓心。今以另一點 $O_2$ 為圓心、$\overline{O_1O_2}$ 為半徑作一圓，且此圓與圓 $C$…
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• 107年 統測 第25題
  設 $P(x,y)$ 為圓 $x^2 + y^2 - 6x + 8y = 0$ 上的動點，若 $4x+3y+5$ 的最大值為 M，最小值為 m，則 M + m = ?
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• 106年 統測 第1題
  設直線 $2x+y=11$ 與拋物線 $y=x^2-4$ 在第二象限的交點為 $A$，在第一象限的交點為 $B$，若線段 $AB$ 上一點 $P$ 滿足 $AP : BP =2:1$，則 $P$ 點坐…
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• 106年 統測 第20題
  設打水漂遊戲中石頭落入水中的漣漪是以圓的形式展現。若某人向河面擲出石頭的方向是沿著直線 $x-y=1$ 行進，下列哪一個圓方程式可為此漣漪的形式？
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• 106年 統測 第21題
  若雙曲線 $4x^2-16y^2+4x+16y+1=0$ 的貫軸長及正焦弦長分別為 $i$、$j$，則 $i+j = ?$
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• 105年 統測 第1題
  若直線 $3x-2y+6=0$ 的斜率為 $a$ ， $y$ 截距為 $b$ ， $x$ 截距為 $c$ ，且此直線與兩坐標軸所圍成的封閉區域面積為 $d$ ，求 $ab-cd$ 之值。
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• 105年 統測 第12題
  滿足二元一次聯立不等式 $\begin{cases} x+y \le 4 \ 3x-y \le 6 \ 5x+2y \ge 10 \end{cases}$ 的整數解 $(x,y)$ 共有幾個？
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• 105年 統測 第20題
  已知圓的方程式為 $x^2+y^2-2x-2y+1=0$ ；直線方程式為 $x+y-1=0$ ，若圓和直線的交點分別為 $A$ 與 $B$ ，圓心為 $O$ ，則下列何者正確？
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• 105年 統測 第21題
  已知一橢圓之焦點分別為 $(3, 3)$ 及 $(-1, 3)$ ，且過點 $(3, 6)$ ，則下列何者為橢圓上的點？
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